昨天批改作业，一个学生把等比数列的公比写成了分数，然后通项公式也对了，最后求和的时候却用了等差的公式。我在旁边写了个大大的感叹号。这孩子，真是气人又好笑。教了十几年数学，这种错误见怪不怪。今天想和大家聊聊数列规律，不是教科书式念经，而是实实在在的考试干货。
说实话，数列这章在高考里也就占12分左右，但每次丢分都丢得莫名其妙。不是不会，是太粗心，或者说，脑子里那根弦没绷紧。下面这几点，都是我在课堂上反复强调的，你要是能注意到，起码能多拿5分。
核心考点：数列规律到底考什么
别被“规律”两个字吓住。高中阶段，数列规律就那么几个模板。等差数列、等比数列、递推数列、周期数列，再加上一个求和。是不是觉得我说得太直接？等差数列的通项公式和求和公式，这个必须滚瓜烂熟。等比数列通项公式，注意首项和公比都不能为零。还有从递推关系求通项，比如a(n+1)=a(n)+d，那就是等差；a(n+1)=a(n)*q，那就是等比。有些题会给你一个分段定义的数列，让你找规律，多写几项就能看出来。
另外，等差数列有个重要性质：若m+n=p+q，则a_m+a_n=a_p+a_q。等比数列也有类似性质。这个性质在解选择题和填空题时特别好用，能省不少时间。比如一道题告诉你a3+a7=10，让你求a5加多少之类，直接用性质秒杀。
还常考一个点：数列的周期性。比如某些递推公式算出来都是重复的，这时候你得会判断周期。有个经典题，a1=1, a2=2, a(n+2)=a(n+1)-a(n)，算几项就能发现周期是6。这种题不难，但需要耐心。对了，还要注意题目问的是“第n项”还是“前n项和”，别混。有时候问的是第几项，你算半天前n项和，白费力气。
易混淆知识点：这两对，别再看走眼
第一对：等差中项和等比中项。等差中项是a和b的算术平均数，等比中项是几何平均数。但注意，等比中项有两个，正负都算。求出来往往要舍掉一个，因为要满足通项公式。很多同学直接只写一个，结果丢了负的那个，被扣冤枉分。考试时一定要检查条件，比如“都是正数”这种。
第二对：求和公式的适用条件。等差数列求和公式是Sn=na1+n(n-1)d/2，等比数列是Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，但q=1时要单独写Sn=na1。这个q=1的情况，选择题经常挖坑。你大意了，直接套公式，算出来的结果是错的。我见过太多学生在这里翻车了，真的，我没骗你。
还有一个隐蔽点：已知Sn求an，必须用an=Sn-S(n-1)，但n=1时要单独验证a1是否符合通项。这个坑，白送的分，别不要。另外，如果Sn里有常数项，那一定是a1不满足从n=2得到的通项。遇到这种题，直接分情况写，别图省事。
典型例题：一道让你怀疑人生的递推题
来看题：已知数列{a_n}满足a1=1，a[n+1]=2a[n]+1，求a[n]的通项公式。
乍一看，不是等差也不是等比，对吧？这种题就是考你的转化思维。标准思路：构造一个等比数列。设a[n+1]+x=2(a[n]+x)，展开得a[n+1]=2a[n]+x，跟原式比较，x=1。所以a[n+1]+1=2(a[n]+1)。于是{a[n]+1}是等比数列，首项a1+1=2，公比2。那么a[n]+1=2*2^(n-1)=2^n，所以a[n]=2^n-1。
就这么简单。但很多同学卡在“为什么能设+x”这里。我解释一下，因为右边是2a[n]+1，常数项1可以拆成2-1，而2倍的关系让我们想到构造。如果实在看不出来，就死算几项：1,3,7,15,31……发现是2^n-1。但考试不能靠猜，所以你得学会构造法。
再来看一个周期数列的题：a1=2，a[n+1]=1-1/a[n]，求a[2020]。你写几项试试？a2=1/2，a3=-1，a4=2……看到没，周期是3。然后2020除以3余1，所以a[2020]=a1=2。这种题是不是特别友好？但你要是愣头青，一直算下去，考场时间不够用。
对了，求和时还有个常见技巧叫裂项相消。比如1/(n(n+1))，裂成1/n – 1/(n+1)。但如果是1/(n(n+2))呢？是1/2*(1/n – 1/(n+2))。很多同学漏了那个1/2，结果全部算错。这种细节，就是拉开差距的地方。还有错位相减，乘公比的时候容易算错，建议每一步都写清楚。
答题技巧与避坑指南
- 先判断类型：拿到题，别急着套公式。看已知条件是相邻两项的关系，还是前n项和的关系。如果是递推式，先看看能不能化为等差或等比。不要看到什么都用等差，不存在的。
- 验证首项：凡是已知Sn求an，一律先验证a1。凡是构造了等比数列的，也要检查是否包含n=1。n=1和n≥2的通项可能不一样，这是常考点。
- 符号和0的陷阱：等比数列的每一项都不为零，公比也不为零。等差中项可以为零，等比中项不行（除非a=b=0，但等比数列不允许）。求公比时注意正负，别漏解。
- 别被外观骗了：有些数列规律题，给的式子很复杂，但你把前几项写出来，就能发现周期或等差等比。写几项不丢人，这是最实在的方法。我鼓励学生在草稿纸上大胆写，列出来，规律自然就浮现了。
- 规范书写：数列题特别讲究步骤。构造出的新数列一定要写明首项和公比，还有由an表达的式子。不然阅卷老师找不到得分点，你做了也白做。
最后，我想说一句。数列规律这块，考试中占的分数不多，但它是数学思维的试金石。你越怕它，它越欺负你。多动手，多犯错，犯完了记下来，比刷一百道题有用。好了，不说了，我还要去改作业。祝你下次做题时，眼睛一眯，规律就出来了。
